Skip to content

Diagonalization

對角化

設\(A\in\text{M}_{n\times n}(F)\)可對角化

  • 找特徵值 (How?)
  • 找出\(\ker(A-\lambda_i I)\)的基底，就是特徵向量
  • 把特徵向量對照特徵值排好，當列向量放進\(S\in\text{M}_{n\times n}(F)\)中
  • \(A=SDS^{-1}\)
正交對角化

設\(A\in\text{M}_{n\times n}(F)\)可正交對角化

  • 找特徵值 (How?)
  • 找出\(\ker(A-\lambda_i I)\)的基底，就是特徵向量
  • 特徵多項式有重根，也就是說如果\((\lambda-\lambda_i)^2\mid\det(A-tI)\)，就對\(\ker(A-\lambda_i I)\)的基底做Gram Schmidt
  • 把所有特徵向量單位化，也就是除掉本身長度
  • 把特徵向量對照特徵值排好，當列向量放進\(S\in\text{M}_{n\times n}(F)\)中
  • \(A=SDS^{-1}\)
Notes
  • \(A\in\text{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\)可正交對角化\(\iff A^T=A\)
  • \(A\in\text{M}_{n\times n}(\mathbb{C})\)可正交對角化\(\iff A^*A=AA^*\)
  • 不同特徵值所對應的特徵向量必正交
  • \(F=\mathbb{R}\implies S\in O(n)\iff SS^T=I\)
  • \(F=\mathbb{C}\implies S\in U(n)\iff SS^*=I\)