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Subspaces

Subspace

Let \(V\) be a vector space over \(F\). We say \(W\subset V\) is a subspace of \(V\) if

  1. It inherits the vector addition and the scalar multiplication structures of \(V\).
  2. It is closed under both vector addition and scalar multiplication.
  3. \(0\in W\).
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向量空間的子空間就是一個子集合且還是向量空間

是非題

  1. 所有有限維度向量空間\(V\)只要不是零空間，則為無窮集合。
  2. 子空間的定義中，\(0\in W\)是多餘的。
答案
  1. 否。考慮\(F=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)，並且將\(F\)當作\(F\)上的向量空間，則其是有限集合。
  2. 否。空集合滿足前兩條，但空集合不是向量空間，因為沒有\(0\)向量。
子空間一步檢定

Let \(V\) be a vector space over \(F\). Then \(W\) is a subspace of \(V\) if and only if \(w_1+cw_2\in W\) for every \(w_1,w_2\in W, c\in F\), and \(0\in W\).