Invertible matrices¶
Maxtrix invertibility
Let \(A\in\text{M}_{n\times n}(F)\). TFAE:
- \(A\) is nonsingular
- \(\exists!B\in\text{M}_{n\times n}(F),\text{s.t. }AB=BA=I\)
- \(0\) is not an eigenvalue of \(A\)
- \(\det(A)\neq0\)
- \(\text{rank}(A)=n\)
- \(\text{nullity}(A)=0\)
- Columns of \(A\) form a basis of \(F^n\)
- Rows of \(A\) form a basis of \(F^n\)
怎麼算反矩陣
- 對增廣矩陣\([\ A\ |\ I\ ]\)做高斯消去法
- 特殊矩陣如正交或么正算子，直接轉置取複數共軛
- 對角矩陣直接把對角線元素倒數
- 使用
\[
(I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}A^n
\]
如果\(A\)可以分塊成
\[
A=\begin{pmatrix}X & Y \\ P & Q\end{pmatrix}
\]
並且\(X,Y,P,Q\)都是方陣，那麼
\[
A^{-1}=\begin{pmatrix}Q&-Y\\-P&X\end{pmatrix}
\]